Aplicación de los Mínimos Cuadrados.
1. Definición del Método.
Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico encuadrada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares ordenados: variable independiente (y), variable dependiente (x), y una familia de funciones, se intenta encontrar la función, dentro de dicha familia, que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático. De esta manera, cuanto menor sea el error que estemos cometiendo, mejor será la aproximación que estemos haciendo de ese conjunto de valores.
Este método consiste, básicamente, en aproximar un conjunto de puntos (n) mediante una recta de la forma y=mx+b , donde los valores m y b, los deberemos calcular mediante las siguientes fórmulas:
$m = \frac{\displaystyle\sum_{ } x \displaystyle\sum_{ } y - n \displaystyle\sum_{ } xy}{(\displaystyle\sum_{ } x)^2 - \displaystyle\sum_{ } x^2}$
$b = \frac{1}{n} (\displaystyle\sum_{ } y - m \displaystyle\sum_{ } x)$
2. ¿Cómo trabajaremos con los mínimos cuadrados?
Trabajar con el método de los mínimos cuadrados no tiene una gran complejidad. Simplemente, y como consejo, utilizaremos una tabla para tener todos los datos, que vamos a utilizar, más organizados. Veámoslo más detalladamente con un ejemplo:
-Números de Köchel. En el año 1862, el musicólogo Ludwig von Köchel hizo una lista cronológica sobre las piezas musicales que Mozart fue componiendo a lo largo de sus años. Primero deberemos realizar una aproximación por mínimos cuadrad0s de todas sus obras, las cuales deben estar representadas según una recta y=mx+b.
En segundo lugar, se nos pregunta lo siguiente:
Sí sabemos con certeza que Mozart había escrito 364 piezas musicales en el año 1779, ¿cuál es el año predicho por la aproximación para tal cantidad de piezas musicales?
A continuación, realizaremos la tabla anteriormente citada para organizar los datos que se nos han proporcionado:
Una vez que hayamos hecho la tabla, debemos calcular los valores de ‘m’ y de ‘b’ mediante las fórmulas citadas al principio:
$m = \frac{\displaystyle\sum_{ } x \displaystyle\sum_{ } y - n \displaystyle\sum_{ } xy}{(\displaystyle\sum_{ } x)^2 - \displaystyle\sum_{ } x^2}$
m=0,04267
$b = \frac{1}{n} (\displaystyle\sum_{ } y - m \displaystyle\sum_{ } x)$
b=1764,84
Por lo tanto, nuestra recta es:
y=0,04267x +1764,84
Finalmente, y contestando así al segundo apartado de nuestro ejemplo, si sustituimos el valor x=364 en nuestra recta obtenemos que y=1780. De aquí podemos deducir que nuestra aproximación es bastante buena, ya que el año en el que Mozart había compuesto 364 piezas musicales había sido en el 1779.
*El gráfico muestra la recta que hemos calculado mediante la aproximación de mínimos cuadrados.
Con el objetivo de que aprendáis a implementar este tipo de ejercicios en matlab, aquí os dejo un enlace muy interesante para dibujar las gráficas realizando aproximaciones lineales (y no lineales):